Приглашенный профессор Университета RUDN Дурвудхан Сураган и команда коллег получили и установили новые типы функциональных неравенств. Неравенства Харди являются важным типом решения задач в математической физике. Результаты исследования были опубликованы в «Advances in Mathematics».

Свойства так называемых неравенств Харди изучались математиками во всем мире уже около века. Это отношения определенного типа для рядов и интегралов. Неравенства Харди изучаются в функциональном анализе и используются как вспомогательный инструмент во многих областях математики и механики, а также в теории вырожденных дифференциальных уравнений (в частных производных эллиптического типа), теории спектра, нелинейном анализе и теории интерполяции.

Большинство исследований, посвященных неравенствам Харди и их аналогам, выполняется в евклидовых векторных пространствах. С точки зрения высшей математики евклидово пространство представляет собой множество произвольных элементов, на которых задана операция точечного произведения. Двумерные и трехмерные пространства являются частными случаями евклидовых пространств. Команда из RUDN расширила теорию неравенств Харди и изучила их в терминах более сложных математических объектов - однородных топологических групп.

Набор элементов называется топологической группой, если он одновременно является топологическим пространством и группой, а операции вывода произведения и обратного элемента непрерывны. В топологическом пространстве найдена система подмножеств (топология) специальных свойств. Помимо самих подмножеств топология включает в себя их агрегаты, состоящие из произвольного числа элементов, а также пересечения (только конечные) и множества пустот. Наличие групповой структуры означает, что для множества задана ассоциативная алгебраическая операция, она содержит так называемую «фигуру одного» (ту, которая имеет свойства 1 при умножении), и все элементы имеют обратные.

Существующие методы установления функциональных неравенств в однородных топологических группах основаны на изучении свойств норм. Нормой в математике является неотрицательная составная функция, отвечающая определенным требованиям. Численный модуль и длина вектора являются простыми примерами норм. Новые методы, предложенные авторами исследования, позволяют работать со случайными нормами, а не строго определенными и фиксированными составными функциями, которые использовались ранее.

Результатом работы команды было получение и установление новых типов неравенств Харди в однородных группах. Особое внимание было уделено анализу в абелевых группах. Абелевость (или коммутативность) выражается в независимости результата групповой операции от порядка элементов. Конкретным случаем коммутативности является хорошо известное правило «перестановка слагаемых суммы не меняет значения суммы». Ученые отмечают, что вновь полученные неравенства могут быть использованы в теории нелинейных дифференциальных уравнений.

Результаты исследования в основном теоретические и фундаментальные. Существующие результаты анализа неравенств Харди-типа были пересмотрены и расширены до новых классов математических объектов. Поэтому можно обнаружить еще неизвестные приложения для этих неравенств.