Математика және математикалық модельдеу институты

Математиктер функционалдық теңсіздіктерде жаңа іргелі нәтижелер алды

RUDN университетінің шақырылған профессоры Дурвудхан Сураган және әріптестер тобы функционалдық теңсіздіктердің жаңа түрлерін тауып, анықтады. Харди теңсіздіктері математикалық физикада есептерді шешудің маңызды түрі болып табылады. Зерттеу нәтижелері «Advances in Mathematics» журналында жарияланған.

Харди теңсіздіктері деп аталатын қасиеттерді дүние жүзінің математиктері бір ғасырға жуық уақыт бойы зерттеп келеді. Бұл қатарлар мен интегралдар үшін белгілі бір типті қатынастар. Харди теңсіздіктері функционалдық талдауда зерттеледі және көмекші құрал ретінде математика мен механиканың көптеген салаларында, сондай-ақ өзгешеленген дифференциалдық теңдеулер теориясында (эллиптикалық типті жеке туындылар), спектрлер теориясында, сызықты емес анализде және интерполяциялық теорияда қолданылады.

Харди теңсіздіктері және олардың аналогтары бойынша зерттеулердің көпшілігі евклидтік векторлық кеңістіктерде жүргізіледі. Жоғары математика тұрғысынан Евклид кеңістігі – нүктелік туынды операциясы көрсетілген ерікті элементтердің жиынтығы. Екі өлшемді және үш өлшемді кеңістіктер евклидтік кеңістіктердің ерекше жағдайлары болып табылады. RUDN тобы Харди теңсіздіктері теориясын кеңейтіп, оларды күрделірек математикалық объектілер – біртекті топологиялық топтар тұрғысынан зерттеді.

Элементтер жиыны әрі топологиялық кеңістік, әрі топ болса және туынды мен кері элементті шығару операциялары үздіксіз болса, ол топологиялық топ деп аталады.Топологиялық кеңістікте арнайы қасиеттердің ішкі жиындар жүйесі (топологиясы) кездеседі. Топология ішкі жиындардың өзінен басқа, элементтердің ерікті санынан, сондай-ақ қиылысулардан (тек ақырлылар) және бос орындар жиынынан тұратын олардың агрегаттарын қамтиды. Топтық құрылымның болуы жиынға ассоциативті алгебралық операция берілгенін, оның құрамында «бірдің фигурасы» деп аталатын (көбейтілгенде 1 қасиеттері бар) және барлық элементтердің кері мәндері бар екенін білдіреді.

Біртекті топологиялық топтардағы функционалдық теңсіздіктерді орнатудың қолданыстағы әдістері нормалардың қасиеттерін зерттеуге негізделген. Математикадағы норма - белгілі бір талаптарға жауап беретін теріс емес құрама функция. Сандық модуль және вектор ұзындығы нормалардың қарапайым мысалдары болып табылады. Зерттеу авторлары ұсынған жаңа әдістер бұрын қолданылған қатаң анықталған және бекітілген құрама функциялармен емес, кездейсоқ нормалармен жұмыс істеуге мүмкіндік береді.

Топ жұмысының нәтижесі біртекті топтардағы Харди теңсіздіктерінің жаңа түрлерін алу және орнату болды. Абельдік топтарда талдауға ерекше көңіл бөлінді. Абелділік (немесе коммутативтілік) топтық операция нәтижесінің элементтер ретінен тәуелсіздігінде көрінеді. Ауыстырушылықтың ерекше жағдайы – «соманың шарттарын қайта реттеу қосындының мәнін өзгертпейді» деген белгілі ереже. Ғалымдар жаңадан алынған теңсіздіктерді сызықты емес дифференциалдық теңдеулер теориясында қолдануға болатынын атап өтті.

Зерттеу нәтижелері негізінен теориялық және іргелі болып табылады. Харди типті теңсіздіктерді талдаудың бар нәтижелері қайта қаралды және математикалық объектілердің жаңа сыныптарына кеңейтілді. Сондықтан бұл теңсіздіктер үшін әлі белгісіз қосымшаларды табуға болады.

Математикалық журнал

Математиктер функционалдық теңсіздіктерде жаңа іргелі нәтижелер алды

Жаңалықтар